WisFaq!

Cirkels

Ik ben mijn toets aan het verbeteren en er is een vraag die ik nog steeds niet kan beantwoorden.

Bepaal de vergelijking van de cirkel c die raakt aan de rechten a: x = 2 en b: 4x - 3y = 6 en waarvan het middelpunt op de rechte c: x + y = 4 ligt.

Als er iemand mij kan helpen
Alvast bedankt

Andrew
8-6-2013

Antwoord

Een cirkel die twee snijdende lijnen moet raken, heeft het middelpunt 'ergens' op de bissectrice liggen van de hoek van die twee lijnen. Er zijn overigens twee van zulke bissectrices en de formule waarmee je ze kunt bepalen, leveren in één keer beide gevallen.
Dat komt overigens omdat de bedoelde formule modulusstrepen bevat.
Gebruik dus deze (bekende?) formule om de twee bissectrices te bepalen.
Maar het middelpunt ligt óók op de lijn met vergelijking x + y = 4.
Snijd daarom deze lijn met elk van de bissectrices. Daarmee heb je de twee mogelijke middelpunten en de straal is nu eenvoudig te bepalen, dankzij het feit dat de lijn x = 2 verticaal loopt.

Een andere start kan zijn dat je het middelpunt voorstelt als (m,4 - m). Dit kun je doen omdat dit punt, welke m je ook neemt, op de lijn x + y = 4 ligt.
Door nu de afstanden van dit middelpunt tot de twee lijnen a en b gelijk te maken, vind je m en de rest volgt dan wel.
Beide methoden komen in wezen op hetzelfde neer en geven ook evenveel werk. De keuze van methode is dus een kwestie van voorkeur.

MBL
8-6-2013