$
\begin{array}{l}
X_{t + 1} = a \cdot X_t + b \\
X_t = \frac{b}{{1 - a}} + \left( {X_0 - \frac{b}{{1 - a}}} \right) \cdot a^t \\
\end{array}
$
In dit geval zou je dan moeten kijken naar de maandelijkse overgangen. Er geldt:
$
\begin{array}{l}
a = \left( {1,05} \right)^{^{\frac{1}{{12}}} } \approx {\rm{1}}{\rm{,0041}} \\
{\rm{b = 22}}{\rm{,69}} \\
X_{t + 1} = {\rm{1}}{\rm{,0041}} \cdot X_t + {\rm{22}}{\rm{,69}} \\
\end{array}
$
Daarmee kan je de expliciete formule in gaan vullen:
$
\begin{array}{l}
X_t = \frac{{{\rm{22}}{\rm{,69}}}}{{1 - {\rm{1}}{\rm{,0041}}}} + \left( {0 - \frac{{{\rm{22}}{\rm{,69}}}}{{1 - {\rm{1}}{\rm{,0041}}}}} \right) \cdot {\rm{1}}{\rm{,0041}}^t \\
X_t = {\rm{ - 5569 + 5569}} \cdot {\rm{1}}{\rm{,0041}}^{\rm{t}} \\
\end{array}
$
Neem t=240 voor het eindbedrag na 20 jaar. Dat geeft ongeveer 9207 euro. Dat laat zich makkelijk controleren met Excel.
Dat is echt iets voor een leerling onderbouw...
WvR
25-12-2012