WisFaq!

Tweede afgeleide test

We leerden dat een extreme waarde kan voorkomen in nulpunten van de eerste afgeleide functie en dat om te weten of het dan een maximum of minimum is de tweede afgeleide kan helpen. Als de tweede afgeleide>0 is er een mimimum en als die < 0 is er een maximum, anders is het een buigpunt. Tot nu toe werkte dit voor alle oefeningen, maar vandaag niet. Bij de functie f(x)= x^4.e^-x heeft de eerste afgeleide 2 nulpunten, 0 en 4 en f''(0)=0 maar toch is er een minimum in x=0???

OPA
3-10-2012

Antwoord

Beste OPA (?),

De test met de tweede afgeleide die je geeft, is niet helemaal goed geformuleerd. Je hebt gelijk dat een negatieve tweede afgeleide overeenstemt met een maximum en een positieve tweede afgeleide met een minimum; maar als de tweede afgeleide gelijk is aan 0 kan je niet concluderen dat er een buigpunt is.

In dat geval geeft de test met de tweede afgeleide geen uitsluitsel en moet je 'verder zoeken'. Dat kan door naar afgeleiden van nog hogere orde te kijken, maar je kan ook de eerste afgeleide beter bestuderen. Als de eerste afgeleide 0 wordt en van teken verandert, dan heb je een extremum: maximum als de afgeleide van positief naar negatief gaat en een minimum in het omgekeerde geval.

In plaats van met de tweede afgeleide te werken kan je dus ook een tekenverloop van de eerste afgeleide maken om de minima en maxima op te sporen. Als je dat doet voor jouw functie, zal je zien dat de afgeleide in x=0 van negatief overgaat naar positief (dus in 0 is er een minimum).

mvg,
Tom

td
3-10-2012