WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op vrijdag 9 december 2022

Gelijkmachtig

Hallo,

In mijn boek moet ik de gelijkmachtigheid van de intervallen [0,1) en [0,1] bewijzen of weerleggen.
Ik weet dat als ze gelijkmachtig zijn dat ik moet bewijzen dat er sprake is van injectiviteit en surjectiviteit dus dat ze bijectief zijn, en al ik het moet weerleggen dat er geen sprake is van bijectiviteit.

zelf denk ik dat ze niet bijectief zijn ?

BB
22-9-2012

Antwoord

Beste BB,

En toch zijn beide intervallen gelijkmachtig! Er zijn verschillende manieren om dat aan te tonen (bv. door gebruik te maken van de krachtige stelling van Cantor-Bernstein), maar je kan ook vrij eenvoudig zelf een bijectie tussen beide verzamelingen in elkaar knutselen.

Het is dan handig om het domein op te splitsen in een aftelbaar stuk en 'de rest', bijvoorbeeld alle getallen van de vorm $1/n$ (met $n$ niet-nulle natuurlijke getallen) en de andere getallen. Beeld die andere getallen gewoon af op zichzelf en gebruik de getallen van de vorm $1/n$ ($n = 1,2,\ldots$) om het probleem met het randpunt op te lossen (denk aan 'verschuiven').

Lukt het om zelf de bijectie op te schrijven?

mvg,
Tom

td
22-9-2012


© 2001-2022 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#68429 - Bewijzen - Student universiteit