WisFaq!

Vergelijking oplossen

Hallo mensen,

Ik heb een vraag over een differentiaalvergelijking.
In de uitwerking staat een bepaalde stap die ik niet begrijp.

De vergelijking is als volgt:

xy' + y = y², y(1)=-1

Mijn uitwerking:

x dy/dx = y²-y
x dy = (y²-y) dx

tot dus ver snap ik het.
Het antwoorden boek zegt vervolgens:

^dy/_(y²-y) = ^dx/_x

Waarom is het niet andersom? dus:

^(y2-y)/_dy = ^x/_dx
je deelt toch door dy en dx?

Een ander punt:
aan beide kanten pak je vervolgens de integraal:
de rechterkant snap ik, ik vraag nu naar de linkerkant

Integraal( ^dy/_y(y-1) )

In de uitwerking staat er ineens dit:

Integraal( 1/(y-1) - 1/y )

Hoe komt het uitwerkingen boek ineens hierop?!
Als je het moet splitsen, dan zou er toch een vermenigvuldigingsteken moeten staan?

Alvast heel erg bedankt :)

Jess
14-9-2011

Antwoord

Je deelt niet door dy of dx!

x dy = (y²-y) dx
Delen door y²-y geeft:
x/(y²-y) dy = dx
Delen voor x geeft:
1/(y²-y) dy = dx/x

Het scheiden van variabelen dus!
Het gaat dus nu om de functie 1/(y²-y) en 1/x

De vraag is dan even wat de primitieve is van 1/(y²-y). Dat kan met breuksplitsen. Je kunt 1/(y²-y) schrijven als 1/(y-1)-1/y. De primitieve is dan nog een koud kunstje...

Lukt dat zo?

WvR
17-9-2011