WisFaq!

Integreren via complexe getallen

Hoe moet ik beginnen?

ò¹/_1+sin²tdt

Via sin omschrijven naar breuk met e-machten, maar loop dan vast

Hoop dat jullie me verder kunnen helpen

Roy

Roy
26-5-2011

Antwoord

Voor deze heb je inderdaad wel wat creativiteit nodig, hieronder staat hoe je eruit kunt komen:

We maken gebruik van het feit dat sin²t+cos²t=1
En een eindje verderop maken we gebruik van de wetenschap dat
[tan(t)]'=1/cos²t

1/(1+sin²t) = 1/(cos²t+sin²t+sin²t) = 1/(cos²t+2sin²t)
= 1/(1+2tan²t) * 1/cos²t

dus: ò1/(1+sin²t) dt = ò1/(1+2tan²t) * 1/cos²t dt
= ò1/(1+2tan²t) d(tan(t))

nu vermenigvuldig ik de linkerkant van de integraal met 1/Ö2 en de rechterkant met Ö2. (deze heffen mekaar netto weer op)
= (1/Ö2).ò1/(1+2tan²t) d((Ö2.)tan(t))
= (1/Ö2).ò1/(1+(Ö2.tan(t))²) d((Ö2.)tan(t))
Als je nou (Ö2).tan(t) schrijft als X, dan staat er in feite:
(1/Ö2).ò1/(1+X²) dX

de primitieve van 1/1+x² is arctan(x). dus
(1/Ö2).ò1/(1+X²) dX = (1/Ö2).arctan(X) + C
= (1/Ö2).arctan((Ö2).tan(t)) + C

groeten,
martijn

mg
29-5-2011