WisFaq!

Ingeschreven cirkel

Hallo,
Ik moet voor een onderzoeksopdracht een bewijs formuleren dat de ingeschreven cirkel van een pythagorasdriehoek een geheel getal is. Ik vind hier niets van op internet enkel dit

Het probleem: bepaal alle Pythagoras driehoeken waarvan de straal van de ingeschreven cirkel een positief natuurlijk getal n is

Oplossing.
Een bekend resultaat:
Alle Pythagoras driehoeken met zijden a, b en c en a² + b² = c² kunnen worden geparametriseerd met positieve natuurlijke getallen u en v (u v), zodat a = u² - v², b = 2uv en c = u² + v².

Een ander bekend resultaat met betrekking tot de ingeschreven cirkel van een driehoek met oppervlakte A:
r_in =2A
a + b + c
Oftewel
r_in =
2uv(u² - v²)
2u² + 2uv
= v(u - v)
Bij elke deler v van het positieve natuurlijke getal n vinden we een u, zo dat
n = v(u - v) en dus u = n
v + v. Als we stellen q = n
v , dan vinden we na enig
vereenvoudigen de Pythagoras driehoek met zijden a, b en c
(a, b, c) = (2n + q², 2n + 2v², 2n + q² + 2v²)

maar dit is dus eigenlijk niet wat ik zoek zouden jullie mij kunnen helpen?
Alvast bedankt

evelyn
2-5-2011

Antwoord

Dag Evelien,
Je bent eigenlijk al bij wat je zoekt, want je zegt: r=v(u-v) en omdat u en v gehele getallen zijn is r ook een geheel getal.
Groeten,
Lieke.

ldr
3-5-2011