WisFaq!

Stijgend zijn van een functie

Op het interval0,¹/₂p definieren we
f(x)=(x-sin(x))(p-x-sin(x)
Gevraagd wordt te bewijzen dat deze functie f op het gegeven interval stijgend is.

Dat lijkt simpel. Kijk naar f'(x)0 en laat zien dat dit geldt op het gehele interval. Echter wat blijkt?
f'(x)=cos(x)[2sin(x) - p] - 2x +p
We hebben nu te maken met een weerbarstige goniometrische ongelijkheid. Wat nu? Met behulp van het softwareprogramma Derive kan ik wel laten zien dat f'(x) 0 is op het gegeven interval, maar dat is geen bewijs.
Herschrijf ik echter f'(x)
als f'(x) = {(sin(2x) + p] -[pcos(x) - 2x], dan blijkt dat, alweer met Derive dat
sin(2x)+p pcos(x)+2x
Hoe verder?

Math
18-9-2010

Antwoord

Beste "Math",

Bij je laatste uitwerking van f'(x), waarbij je 2sinxcosx hebt vervangen door sin(2x) staat een tekenfoutje bij -2x. Misschien dat dat het verschil verklaart.
Je hoeft echter de vergelijking f'(x)=0 niet op te lossen om te zien dat f' binnen het interval altijd positief is.
Want sin(2x)0 (De grenzen 2x=0 en 2x=p doen niet mee)
-pcos(x)0, dus sin(2x) + p -pcos(x)p.
En 2xp.
q.e.d.
Groeten,
Lieke.

ldr
19-9-2010