WisFaq!

Raaklijn aan ellips

Beste mensen van wisfaq, ik heb het volgende probleem:
de raaklijn in het punt (q,z) van de ellips x²/a² +y²/b² = 1

heeft als vergelijking xq/a² + yz/b² = 1

bewijs dit!

- ik ga ervan uit dat ze bedoelen dat (q,z) op de ellips ligt. immer in het punt VAN de ellips.

- een willekeurige lijn door dit punt met m als rico.
y= m(x-q) + z
- omdat het de raaklijn is mag hij maar 1 snijpunt hebben. namelijk ( q,z) er geld dus blijkbaar q²/a² + z²/b²=1

verder komt ik eigenlijk niet.

daarnaast nog dezelfde vraag, maar dan als P buiten de cirkel ligt.

please hellup!

john
26-3-2010

Antwoord

Probeer het eens te doen m.b.v. differentiaalrekening. Dat is toch niet voor niks uitgevonden, lijkt mij.
Schrijf de ellipsvergelijking als y = ±(b/a)Ö(a² - x²) en bepaal hiervan de afgeleide.
Je vindt: dy/dx = ±(b/a).(-2x)/(2Ö(a² - x²)) = -(b²x)/(a²y).
In het punt (q,z) is de rc van de raaklijn dus -(b²q)/(a²z) en daarmee heb je de raaklijnvergelijking te pakken. Je krijgt:
y - z = -(b²q)/(a²z) (x - q).
Maak hier van a²zy - a²z² = -b²qx + b²q² en maak daarvan weer
(qx)/a² + (zy)/b² = q²/a² + z²/b² = 1 (want (q,z) ligt op de ellips). Klaar!
Overigens moet je dit soort formules plus hun afleidingen toch in elk leerboek over analytische meetkunde kunnen vinden, denk ik.

MBL
26-3-2010