WisFaq!

Afgeleide bepalen

Het betreft een oude vraag no: 59800; mijn datum 08-07-2009
Opgave luidde: g(x)= x^2 log(2x)
De vrager Jan stelt dat het antwoord volgens zijn studieboek moet zijn: x(1/ln(a) + 2.a^log(2x)
Wisfaq, leraar "HK" vindt: 2x.10^log(2x)+ x/ln10 met de mededeling: "Kennelijk beschouwt je antwoordenboekenmaker x^2.log(2x) als x^2.a^log(2x).

Ik heb hier ook wel eens moeite mee en als ik het studieboek goed geinterpreteerd heb staat er dat het grondtal "g" in dit geval, eventueel door een ander grondtal bijvoorbeeld "a", vervangen mag worden, omdat het een continue functie is.

Ik laat het begin bewijs, dat bekend verondersteld mag worden, dan even achterwege en ga ver der met de stelling dat g'(x)= d(g^log(x))/dx = (1/x).g^log(e)= (1/x).(ln(e)/ln(a)= (1/x).ln(a) of (1/x).ln(g)

Persoonlijk vind ik deze grondtal-switch ook een beetje merkwaardig en hoop dat iemand daar een betere verklaring voor heeft. Bij voorbaat heel hartelijk dank!

Johan uit de Bos
3-11-2009

Antwoord

Het berust allemaal op een regel uit de logaritmen waarmee je een grondtal kunt omzetten in een willekeurig ander (toelaatbaar) grondtal.
Je herinnert je vast nog wel dat je op de middelbare school een getal als bijvoorbeeld ³log(7) kon benaderen via de deling log(7)/log(3).
In deze deling nam je dan als vanzelfsprekend het grondtal 10, omdat daar nu eenmaal een knop voor op de rekenmachine aanwezig was. Maar in feite kan bij die deling ieder grondtal genoemen worden, bijvoorbeeld e. En ook daar is een knop voor aanwezig namelijk de ln knop. Probeer het maar eens uit! Je zult geen ander antwoord krijgen.
Nu terug naar de afgeleide functie van f(x) = ^glog(x).
Van deze functie is bekend dat f'(x) = 1/x
Gebruikmakend van de mogelijkheid het grondtal om te zetten, schrijf je voor de functie f(x) = ^glog(x) eerst f(x) = log(x)/log(g) maar nu kies je nadrukkelijk niet voor grondtal 10, maar voor grondtal e.
Je krijgt dus f(x) = ^elog(x)/^elog(g) wat doorgaans geschreven wordt als f(x) = ln(x)/ln(g).
Dit is ook te schrijven als f(x) = 1/ln(g).ln(x)
Als je dit nu differentieert, dan is het getal 1/ln(g) een vast getal, zodat de afgeleide wordt 1/ln(g).1/x ofwel 1/(x.ln(g))

MBL
3-11-2009