WisFaq!

Bepalen van kansverdelingen

Dan nu in het Nederlands...

Hallo beantwoorders

Als X en Y onafhankelijke stochasten zijn, exponentieel verdeeld met parameter a en b resp. En twee andere stochasten T en Z worden gedefinieerd door:

(T, Z):= (X, 0) als X Y
(T, Z):= (Y, 1) als X Y

Hoe geraakt men nu aan de kansverdelingen van T en Z en hoe bewijs je dat T en Z onafhankelijk zijn? Ik probeer dit probleem al een paar weken op te lossen maar ik raak er gewoon niet uit. zeer spijtig.


Hulp zou ik ten zeerste op prijs stellen. Bij voorbaat dank.

Joolz
21-10-2009

Antwoord

dag Joolz,
Het gaat om het volgende:
X en Y zijn de levensduren van lampen A en B(ik neem maar een voorbeeld)
Exponentieel verdeeld: P(Xt) = e^-at; P(Yt)= e^-bt
T is de tijd waarop voor het eerst een lamp kapot gaat.
Z geeft aan of dat lamp A of lamp B is.
Z=0 als het A is en 1 als het B is.
De verdeling van T vinden we zo:
T t betekent dat X en Y beide t zijn:
P(Tt)=P(Xt én Yt) =[wegens onafhankelijkheid]= ...=e^-(a+b)t
Dus T is exponentieel met parameter a+b
Om P(Z=0) te vinden en de onafhankelijkheid van Z en T,
Kijk in het X,Y-vlak naar het gebied Tt (dat is de punten x,y met xt en Yt) waar Z=0 (dat is waar xy)
Door de dichtheids functie van X,Y ( f(x,y)= (ae^-ax).(be^-by) te integreren over dit gebied krijg je de kans P(Tt en Z=0) en dan blijkt dat bv
Z=0 met kans a/(a+b)
veel succes

JCS
22-10-2009