WisFaq!

Root test

hey,

terloops kwam ik in verband met wat vraagstukken over convergentie een reeks tegen waar ik niks mee kon.

namelijk $\sum$^$\infty$_n=0 (aⁿ + n^b) · xⁿ

waarbij b positief, zo nodig in $\mathbf{N}$

de vraag was, wat is de convergentiestraal
mijn vermoeden is dat deze straal a is, maar een bewijs lijkt moeilijk.

is het mogelijk de lim_n$\to\infty$ ⁿ√(aⁿ + n^b)
te berekenen?

met vriendelijke groet,

Sjaak

Sjaak
15-8-2009

Antwoord

Wel zeker is het mogelijk de limiet te bepalen; maar je moet gevallen onderscheiden (ik neem aan dat a=0): als a=1 dan is de limiet gelijk aan 1 (en de convergentiestraal is dan 1) en als a1 dan is de limiet gelijk aan a (en de straal is dan 1/a).
Als a=1 dan haal je (binnen de wortel) eerst n^b buiten de haakjes: n^b(1+aⁿ/n^b). Omdat a=1 volgt dat wat tussen de haakjes staat niet groter is dan 2. Je uitdrukking ligt tussen de n-demachtswortels van n^b en 2*n^b; deze beide hebben limiet 1, pas de insluitstelling toe. Als a1 dan haal je juist aⁿ buiten de haakjes en ook biten de wortel je krijgt dan a maal de n-demachtswortel van 1+n^b/aⁿ; omdat a1 wordt dit op den duur kleiner dan 2, pas weer de insluitstelling toe.
Overigens kun je de reeks ook als som van twee losse reeksen zien; de een met convergentiestraal 1/a, de andere met straal 1. De convergentiestraal van de somreeks is het minimum van de twee.

kphart
17-8-2009