WisFaq!

Meetkundige plaats: vergelijking van een parabool in de ruimte

Hallo, ik zit weer met een vraagje:

Een rechte D raakt een cirkel C in een punt o. Bepaal de meetkundige plaats van het middelpunt van een veranderlijke cirkel die D en C raakt.

Nu, 1 oplossing is de loodlijn in het raakpunt op de raaklijn.
deze heeft dan als vergelijking: y-q=-1/m·(x-p)
Hiervan weet ik dan de vergelijking,
Echter zie ik a.d.h.v. men tekening dat er ook een parabool aan te pas komt met top o en topraaklijn D. Dit zie ik door verschillende loodlijnen te trekken op verscheidene plaatsen op D. Ik zie niet goed hoe ik aan die vergelijking moet komen. Moest ik een gokje wagen zou dit men oplossing zijn:
(y-q)²=2p(x-p)
Met andere woorden, hoe stelt men de vergelijking van een parabool op met een middelpunt dat niet overeenstemt met (0,0).

gerrie cuvelier
25-5-2009

Antwoord

Hallo

Het is belangrijk om de gegeven elementen zo eenvoudig mogelijk in een assenstelsel te leggen.
De rechte d valt hier samen met de x-as en de cirkel C(M,r) raakt in de oorsprong O aan de rechte d, zodat zijn middelpunt M ligt op de y-as.
Zie tekening onderaan.
Geef het punt P, het middelpunt van de veranderlijke cirkel, de coördinaat (x,y)
Je hebt dan :
|AP| = x;
|MA| = r-y;
|MP| = r+y;

Uit |MP|² = |MA|² + |AP|² volgt
(r+y)² = (r-y)² + x²
2r.y = -2r.y + x²
4r.y = x²

y = ^x2/_4r

Dit is je gezochte parabool.
Ok zo?

LL
26-5-2009