WisFaq!

Driehoek en bissectrice

In driehoek ABC is BD bissectrice. D ligt op AC,zó dat
AD = BD + BC. Verder is hoek B = 80 graden.
Gevraagd: hoe groot is hoek C.
Ik heb al een en ander geprobeerd, maar kom er niet uit.
Hopelijk kunt U mij op weg helpen. Alvast bedankt !

J. Vriens
18-5-2009

Antwoord

Ga voor het gemak uit van B(0,0), A(a,0), C(cos(80),sin(80)).
Het punt D is enerzijds gelijk aan $\lambda$(cos(40),sin(40)) voor zekere $\lambda$,
en anderzijds gelijk aan (a,0) + $\mu$(cos(80)-a, sin(80)) voor zekere $\mu$.
Dus $\lambda$cos(40) = a + $\mu$(cos(80)-a), en
ook $\lambda$sin(40) = $\mu$sin(80) = 2$\mu$sin(40)cos(40).
Uit de tweede vergelijking volgt $\lambda$ = 2$\mu$cos(40), en als je dat substitueert in de eerste krijg je
2$\mu$cos²(40) = a + $\mu$(cos(80)-a) = a + $\mu$(2cos²(40)-1-a) dus $\mu$ = a/(1+a).
Uit AD=BD+BC volgt verder
$\mu$√((cos(80)-a)² + sin²(80)) = $\lambda$ + 1 = 2$\mu$cos(40) + 1.
Substitueer in deze laatste vergelijking $\mu$ = a/(1+a) en bereken daarna a. (Dit kun je doen door proberen met behulp van de rekenmachine.)
Beschouw nu de rechthoekige driehoek ACC', waarbij C' het voetpunt is van de loodlijn uit C op de x-as.
Dan kun je de hoek $\alpha$ in A uitrekenen met behulp van
tan($\alpha$) = CC'/AC' = sin(80)/(a-cos(80)).
Tot slot vind je de hoek $\gamma$ in C door $\gamma$ = 180 - $\alpha$ - 80.
(Je kunt dit probleem ook oplossen door in een paar driehoeken de cosinusregel toe te passen.)

hr
20-5-2009