WisFaq!

DIfferentiaalvergelijking (2e order, niet constante coefficienten)

Beste wisfaq,

Ik zit met de volgende vraag. Vind de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking: y’’+ y/x – 9y/x²=0 (hint: substitueer a=ln(x))

Ik heb tot nu toe het volgende gedaan: zij a = ln(x). Dan is a’=1/x en a’’=-1/x². De differentiaal vergelijking kan dan geschreven worden als y’’+a’y-9ya’’=0

Dit is waar ik vast zit. Ik heb al van alles geprobeerd: y=u(x)v(x) (waar u(x)=exp(-1/2 integraal(1/z)dz)=1/Ö(x) en dan de differentiaal vergelijking schrijven als d²v/dx² + g(x)v=h(x) voor functies g(x) en h(x). In dit geval krijgen we d²v/dx²-35v/4x²=0. Van deze differentiaal vergelijking kan ik echter de oplossing ook niet vinden dus deze methode werkt niet.

Tweede poging: ik probeer de differentiaalvergelijking the factoriseren als [d/dx+…][d/dx+…]. Dit werkt echter ook niet omdat ik deze factorisatie niet kan vinden.

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen,

Vriendelijke groet,

Herman

Herman de Vries
19-1-2009

Antwoord

Het is, na vermenigvuldiging met x², een Cauchy-Euler differentiaalvergelijking:

http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Euler_equation
http://www.efunda.com/math/ode/linearode_varcoeff.cfm

cl
19-1-2009