WisFaq!

Maclaurin van Boogtangens

Beste

Ik dien de Maclaurinreeks van de volgende functie te bepalen:
f:®:x®f(x)=Bgtan(x)

Na enkele afgeleiden te berekenen en daarin de waarde "0" (aangezien het om een Maclaurinreeks gaat) krijg je de volgende rij van getallen voor respectievelijk de eerste, tweede, derde... afgeleide in nul:
0, 1, 0, -2, 24...

Nu moeten we hier echter een Maclaurinreeks van maken die er als volgt uitziet:
¥
Bgtan(x)=å^(-1)nx2n+1/_2n+1, "xÎ[-1, 1]
n=0
De logica van de overgang hiernaartoe snap ik echter niet.

Alvast Bedankt en Met Vriendelijke Groet

Brecht
18-12-2008

Antwoord

Brecht,
Met de berekende afgeleiden vind je dat bgtanx=x-2x³/3!+24x⁵/5!-....=
x-x³/3+x⁵/5-.....Je ziet nu dat de exponenten van x en de noemers dezelfde zijn en alle oneven,dus van de vorm 2n+1,n=0,1,2,....Hier probeer je de reeks te vinden met behulp van de afgeleiden.Er is ook een wat eenvoudiger methode en die gaat als volgt:
d/dx(bgtanx)=1/(1+x²)=1-x²+x⁴-x⁶+...Links en rechts integreren geeft
bgtanx=1-x³/3+x⁵/5-x⁷/7+...

kn
18-12-2008