WisFaq!

Veelterm

Zou er iemand mij kunnen helpen, met een oef van complexe getallen want ik begrijp het niet zo goed.

* Bepaal de nulpunten van de veelterm
f(z) = z^3 - 5z^2 + 9z - 5 - j(z^2 - 4z + 5),

als je weet dat het reële deel van de tweede wortel het dubbele is van het reële deel van de eerste, en de imaginaire delen zijn gelijk. Bovendien is de derde wortel het complex toegevoegde van de tweede.

Evelien A.
5-12-2002

Antwoord

Hoi,

Een derdegraadsveelterm heeft 3 nulpunten in . Met de info die je bijkomend hebt, kunnen we ze a+bi, 2a+bi en 2a-bi noemen (a en b zijn reëel).

Je kan f(z) dus schrijven als k.(z-a-bi).(z-2a-bi).(z-2a+bi)=
k.(z-a-bi).[(z-2a)²+b²]=
k.(z-a-bi).(z²-4az+4a²+b²)=
k.[z³-5a.z²+(8a²+b²).z-a.(4a²+b²)-bi.(z²-4a.z+4a²+b²)]=
k.[z³-(5a+bi).z²+(8a²+b²+4abi).z-a.(4a²+b²)-4a²bi-b³i]

f(z) is ook te schrijven als
z³-(5+i).z²+(9+4i).z-5-5i.

Beide uitdrukking moeten term voor term gelijke coëficiënten hebben, dus:
k=1
5a+bi=5+i
8a²+b²+4abi=9+4i
a.(4a²+b²)+4a²bi+b³i=5+5i


Omdat a en b reëel zijn, moeten ook de imaginaire en reële gedeelten overeenkomen. Hieruit vind je makkelijk dat a=1 en b=1 en hiermee is aan alle vergelijkingen voldaan.

De oplossingen van f(z)=0 zijn dus 1+i, 2+i en 2-i.

Groetjes,
Johan

andros
5-12-2002