WisFaq!

Integreren door substitutie

Graag had ik wat hulp bij volgende integralen, de opdracht is om ze te integreren via substitutie.

dx/x·$\sqrt{ }$(x² + 5x + 1)
dx/(1+x²)²

Hanne
4-10-2008

Antwoord

Hanne,
Eerste integraal.Voor dit soort is de volgende substitutie altijd zinvol: stel
$\sqrt{ }$(x²+5x+1)=x+t,dus 5x+1=2xt+t² zodat x=(1-t²)/(2t-5). Differentieëren van de eerste uitdrukking geeft(2x+5)/2$\sqrt{ }$(x²+5x+1)= dx+dt, zodat
(2x+5-2$\sqrt{ }$(x²+5x+1))dx/2$\sqrt{ }$(x²+5x+1))=dt, dus
(5-2t)dx/2$\sqrt{ }$(x²+5x+1)=dt, zodat dx/$\sqrt{ }$(x²+5x+1)=2dt/(5-2t).
Invullen in de integraal geeft 2$\int{}$dt/(1-t²). Mooier kan toch niet.

Tweede integraal: stel x=tan $\alpha$.Verder zelf doen.

kn
5-10-2008