WisFaq!

Convergentie met arctan in teller

Onderzoek of de volgende reeksen convergent of divergent zijn:

a)
¥
å arctan n / n(n+1)
n=1

De arctan maakt me onzeker. Volgens mij groeit de noemer veel harder dan de teller. Dan is het een standaard limiet van 1/n en nadert hij 0. Sin en Cos zijn respec. -1 en 1 en kan ik bepalen met de insluitstelling. Maar de arctan. Hoe pak ik deze aan?

b)
¥
å cos(1/n)
n=1

cos heeft bereik van [-1,1]. Beide waardes worden herhaaldelijk bereikt. Dus is er geen limiet. Klopt dit of maak ik ergens een fout?

c)
¥
å 2ⁿ / Ön!
n=1

Ik verwacht hier dat de exponent van de teller harder zal groeien dan de noemer. Dan is de reeks dus divergent. Maar hoe toon ik dit wiskundig aan?

Alvast bedankt voor uw reactie.

Barry Dogger
2-8-2008

Antwoord

a) Wat weet je over arctan x als x heel groot is? Kan je arctan x gemakkelijk begrenzen?

b) De waarden -1 en 1 worden niet herhaaldelijk bereikt door cos(1/n). Wat is de limiet van cos(1/n) als n naar oneindig gaat? Kan je hieruit iets besluiten over het convergeren/divergeren van de reeks?

c) De teller vermenigvuldig je met 2, de noemer vermenigvuldig je met n. De noemer zal dus sneller stijgen. Vergelijk trouwens eens met de machtreeks voor exp(x). Convergentie/divergentie aantonen doe je met de verhoudingstest (ratio test).

cl
2-8-2008