Bij regelmatige veelvlakken geldt dat het aantal hoekpunten H voldoet aan
H=720°/(360°-åa)
waarin åa de som is van de hoeken a van de regelmatige n-hoeken die in een hoekpunt samenkomen
voorbeeld: als in een punt 2 vierkanten en 2 regelmatige driehoeken samenkomen dan geldt:
åa=2x90°+2x60°=300°
met 360°-åa bereken je dus de ruimte die nog over is, in dit geval 60°
720/60=12 dus het aantal hoekpunten van dit lichaam is 12
Mijn vraag is nu: wat is het bewijs dat de formule H=720°/(360°-åa) klopt?
Ik heb dit nodig voor het bewijs dat er maar 13 half-regelmatige veelvlakken zijn. Een ander bewijs zou ook welkom zijn.Patrick Brandts
25-11-2002
Als er bij een veelvlak met H hoekpunten, Z zijvlakken en R ribben in elk hoekpunt m stuks n-hoeken samenkomen, dan is het aantal vlakke hoeken gelijk aan Z x n en tegelijkertijd ook gelijk aan H x m.
Nu is weliswaar elke ribbe dubbel geteld, want elke ribbe maakt deel uit van 2 vlakke hoeken.
Dus krijgen we: Z.n = H.m = 2.R
Nu gebruik je de de stelling van Euler: Z + H = R + 2
Als je deze relaties combineert, dan kun je daaruit o.a. afleiden dat H = 2n/(n + m - 1/2mn)
Nu komt het zogenaamde hoekdefect om de hoek kijken. Defect betekent overigens niet zoiets als "kapot", maar "tekort".
Onder het tekort verstaat men de hoeveelheid graden die men tekort komt om een plat vlak te krijgen, dus om de 360° vol te maken.
Je krijgt: 360° - 180°. m.(n-2)/n en dat is te herleiden tot 720° . (n + m - 1/2mn)/2n oftewel 720° / H
Hieruit kun je nu aflezen dat de optelsom van alle hoektekorten 720° is en je kunt er ook nog het aantal hoekpunten van het veelvlak mee bepalen, zoals je het in je eigen voorbeeld gedaan hebt.
Het is waarschijnlijk het handigst wanneer je bovenstaande tekst afloopt, om met bijv. een kubus of een plaatje van een of ander regelmatig veelvlak voor je neus te controleren wat er precies gezegd wordt.
MBL
26-11-2002
#5555 - Oppervlakte en inhoud - Leerling bovenbouw havo-vwo