WisFaq!

Bissectrice bewijzen

We zijn bezig met onregelmatige driehoeken en klievers.
Klievers zijn lijnen die op het middelpunt van een zijde beginnen, en de omtrek van de driehoek in twee gelijke delen 'snijdt'. Wij moeten bewijzen dat de drie klievers van zo'n driehoek door één punt gaan.
Dit heb ik kunnen bewijzen, maar hiervoor heb ik wel moeten 'aannemen' dat de klievers de bissectrices van de 'hulpdriehoek' zijn.(Hulpdriehoek wordt gevormd door de middenpunten van de zijden met elkaar te verbinden)
Ik zit al zo'n 2 uur naar mijn scherm te staren, maar ik kom er maar niet uit. Iemand een kleine tip? Alvast bedankt!



Groen = driehoek
Rood = kliever
Lichtblauw = hulpdriehoek

Sven
5-5-2008

Antwoord

Dag Sven,

Je kan dat bewijzen met behulp van de bissectrice stelling.



K,L en M zijn de middens van de zijden van DABC.
MP is de bissectrice van ÐKML.
BQ is de bissectrice van ÐB.
Je kan bewijzen dat BQ//MP.
Volgens de bissectrice stelling geldt: AQ/QC=AB/BC, of AB/AQ=BC/CQ.
Nu kan je bewijzen dat: AP=BP+BC, waarmee is aangetoond dat MP je kliever is.

Bewijs:
BP/MQ=AB/AQ (omdat MP//BS)
AB/AQ=BC/CQ=BC/(AM-MQ) (bissectrice stelling)
Of: BP=MQ*BC/(AM-MQ)=BC*BP/(AP-BP)
(weer gelijkvormige driehoeken door evenwijdige lijnen)
Gevolg: BC=AP-BP, of AP=BP+BC (q.e.d.)

ALs ik iets te vlug ben gegaan hoor ik het wel.
Succes, Lieke.

ldr
5-5-2008