WisFaq!

Differentiaalvergelijking; bepalen constante geeft probleem

Ik ben op zoek naar de oplossing voor de differentiaalvergelijking
dy/dx=y²lnx met beginvoorwaarde y(1)=0
Ik was zover: lnxdx=y^-2dy integreren en dan,
y= -1/(x(lnx+1)+C) als ik dan echter begin te werken met de beginvoorwaarde gaat het mis.
Ik hoop dat u mij kunt helpen

Geoffrey Armfield
26-2-2008

Antwoord

Dag Geoffrey,

Je uitwerking ziet er behoorlijk goed uit, alleen een tekenfoutje: de integraal van lnx is x(lnx-1). Nu is het probleem dat het invullen van je beginvoorwaarde geeft:
0=-1/(0+C)
Dit heeft geen oplossing voor reële C. Maar het kan je wel een idee geven over wat de echte oplossing zou zijn: als je voor C oneindig neemt, dan zou het in de limiet wel kloppen. Voor de bekomen oplossing y=-1/(x(lnx-1)+C) zou dat steeds een noemer oneindig geven, en dus y=0. Dus zou de constante oplossing y=0 misschien de oplossing kunnen zijn? En inderdaad: als y(x)=0 dan is de afgeleide ook nul, en dan wordt de opgave 0=0²·ln(x), dus 0=0, dat klopt.

Het is trouwens behoorlijk inzichtelijk om de oplossing y=-1/(x(lnx-1)+C) eens te plotten voor verschillende (positieve) waarden van C, in het gebied x1. Je zal zien dat de grafiek voor grotere C steeds dichter bij de constante oplossing y(x)=0 aanleunt.

Groeten,
Christophe.

Christophe
26-2-2008