WisFaq!

Berekenen van limieten

hoi nog vraagje:
45) Lt Û y= (4(t-3))/(t²-3t) x+4 stelt een rechtenbundel voor
3) naar welke rechte nadert Lt als t®t1. En als t®t2?
heb geen bereking want ik weet niet wat ik hier moet doen heeft u een tip of uitleg wat er moet gdaan worden hier?
alvast bedankt voor alles groetjes yann

yann
24-2-2008

Antwoord

Dag Yann,

Als je een waarde van t krijgt kan je die invullen in het voorschrift, bv t=5 geeft je de rechte y=(4(5-3))/(5²-3·5) x+4 dus y = 4x/5 + 4.

Voor eender welke t-waarde kan je dit doen: gewoon t invullen en je krijgt de gevraagde rechte. Er zijn echter twee t-waarden die een probleem geven: als je t=0 of t=3 wil invullen dan wordt t²-3t gelijk aan nul, je krijgt dan een noemer die nul is, dat is een probleem. Ik vermoed dan ook dat de t₁ en t₂ die je vermeldt deze twee waarden zijn?

Voor t®3 valt het nogal mee: je hebt immers ook t-3 in de teller staan, het voorschrift van Lt is
y = 4(t-3)/(t(t-3)) x + 4
Voor t verschillend van 3 (en als t naar 3 nadert blijft t altijd een beetje verschillend van 3) kan je die t-3 schrappen en je houdt enkel over
y = 4/t x + 4
en als t naar 3 gaat wordt dat dus y = 4x/3 + 4.

Voor t®0 kan je die t-3 ook wegschrappen, werk dus ook hier met
y = 4x/t + 4.
Dan merk je dat als t®0 gaat, de richtingscoëfficiënt 4/t steeds groter wordt. Je rechte wordt dus steeds steiler, in de limiet zal je dus een verticale rechte krijgen. Nu, welke verticale rechte? Dat kan je makkelijkst zien door de vergelijking y = 4x/t + 4 om te schrijven naar x=... en daarin t naar nul te laten gaan. Als het goed is kom je uit op de rechte x=0, dus niks anders dan de y-as.

Een andere manier is op te merken dat het punt (0,4) voor elke waarde van t op de rechte ligt (vul x=0 en y=4 maar in in de vergelijking van Lt: wat t ook is, het klopt altijd). Dus dat punt (0,4) ligt op elke rechte van de rechtenbundel, je kan dat ene punt dus zien als het punt van waaruit elke rechte van die rechtenbundel 'vertrekt'... Ook op die manier kom je tot de conclusie dat de rechte x=0 de verticale rechte is die je zoekt.

Groeten,
Christophe.

Christophe
24-2-2008