WisFaq!

Even en oneven afgeleide

Beste wisfaq,

Hoe kan ik bewijzen dat

dⁿ/dxⁿ (x²-1)ⁿ

een even functie is wanneer n even is en een oneven functie wanneer n oneven is.

Ik zie wel ongeveer waarom dit het geval is: (x²-1)ⁿ is een even functie omdat het een product van even functies (x²-1) is. Als je dan een keer de afgeleide neemt krijg je een oneven functie. Dan weer de afgeleide nemen geeft weer een even functie etc. (dit heb ik al eerder bewezen). Echter lukt het me niet om dit bewijs formeel op te schrijven. Ik hoop dat jullie me daarmee kunnen helpen.

Vriendelijk bedankt,

Herman de Vries

Herman de Vries
20-2-2008

Antwoord

Dag Herman,

Eigenlijk is dat al een behoorlijk goed geformuleerd bewijs... Je eerste stap kan je ook doen met de definitie van even functie: noem f(x)=(x²-1)ⁿ, dan geldt
f(-x)=((-x)²+1)ⁿ=(x²+1)ⁿ=f(x) dus f(x) is even.
Op die manier verwacht je niet van de lezer van het bewijs dat hij inziet dat een product van even functies opnieuw een even functie is.

Vermits je zoals je zegt al eerder hebt aangetoond dat afleiden een even functie omzet in een oneven en vice versa, heb je op die manier meteen het gewenste resultaat, namelijk dat de n'de afgeleide van f(x) even is als n even is, en oneven als n oneven is.

Jouw bewijs is denk ik wel het elegantste, het kan echter ook met grof rekenwerk: gebruik Newtons binomiumformule om (x²-1)ⁿ uit te schrijven als een som, en neem dan van elke term de n'de afgeleide, waarbij je gebruikt dat
dⁿ/dxⁿ (x^k) = 0 als nk
dⁿ/dxⁿ (x^k) = k·(k-1)·...·(k-n+1)·x^(k-n) = (k!/(k-n)!)·x^k-n als kn
en dan zal je meteen merken dat alle exponenten van x even zijn als n even is, en oneven als n oneven is. En dus dat het vervangen van x door -x een minteken geeft als n oneven is, en helemaal niks als n even is.

Groeten,
Christophe.

Christophe
20-2-2008