WisFaq!

Wentelen om y-as

Ik moet de inhoud berekenen van 17,5Cos(0.5x) tussen de grenzen 0 en p gewenteld om de y-as. Hiervoor moet ik eerst de formule omschrijven naar de inverse. Maar hoe gaat dat met een Cosinus? Ik kan hier nergens rekenregels voor vinden. Als ik de inverse heb kan ik de inhoud berekenen door pòx² dy tussen de grenzen 0 en p. Maar wat zijn de regels voor het primitiveren van bv (17,5cos(.05x))²?

Koen van Es
7-1-2008

Antwoord

De inverse functie van een cosinus is natuurlijk de boogcosinus of arcus cosinus (=arccos).

17,5cos(0,5x) = y = x = 2·arccos(y/17.5)

Er geldt dus dat

pòx²dy = 4pò(arccos(y/17.5))² dy

om dit op te lossen substitueren we er terug x in, met dy = -8,25·sin(0,5x) dx

pòx²dy = -8,25pòx² sin(0,5x)dx

dit kunnen we nu verder oplossen met partiële integratie,algemeen geldt immers

òx dy = ò(d(xy) - y dx) = xy - òy dx

als we dit op onze integraal toepassen, krijgen we

pòx²dy = 17,5px² cos(0,5x) - 35pòx cos(0,5x)dx
= 17,5px² cos(0,5x) - 70px sin(0,5x) + 70 pòsin(0,5x)dx
= 17,5px² cos(0,5x) - 70px sin(0,5x) - 140p cos(0,5x)

Als we terug y invullen krijgen we
pòx²dy = 4py·(arccos (y/17.5))² - 8p arccos(y/17,5)·Ö(17,5²-y²) - 8py

Nu moeten we nog de grenzen invullen, de integraal gaat van 0 naar p.
4p²·(arccos (p/17.5))²- 8p·arccos(p/17,5)·Ö(17,5²-p²)-8p²+ 70p²

Nu is arccos(p/17,5) 1.3902982.
Het volume is dus ongeveer gelijk aan 66,9642494. Maar op dit numeriek resultaat kan wel een rekenfout zitten. De formule is echter wel juist.

FvS
7-1-2008