WisFaq!

Derdegraadsvergelijking zoeken aan de hand van raaklijnen

Wanneer je een derdegraadsvergelijking moet zoeken,
en je krijgt enkel de raaklijnen en de snijpunten van die raaklijnen met de x en y as opgegeven, is het dan mogelijk de functie van die raaklijn te vinden?

De grafiek van een derdegraadsfunctie snijdt de x-as onder andere in P en de y-as in Q. De rechte y=x-4 is de raaklijn in P en de rechte y=x+4 is de raaklijn in Q.
Stel de standaardvorm op van de vergelijking van de raaklijn in de twee andere snijpunten met de x-as.

zoek tevens ook de grafiek van deze derdegraadsfunctie.

kan iemand me bij deze wat informatie verschaffen over hoe ik tewerk moet gaan?
Alvast Bedankt

Didier
5-11-2007

Antwoord

Om te beginnen zou je kunnen stellen:
f(x)=ax³+bx²+cx+d.
Dan f '(x)=3ax²+2bx+c.
De grafiek snijdt de y-as in f(0)=d.
In dit punt is de helling f'(0)=c
De lijn y=x+4 snijdt de y-as in (0,4).
Dus f(0)=4. Waaruit volgt dat d=4.
Bovendien is de helling van deze raaklijn gelijk aan 1, dus f'(0)=c=1
Dus we weten: f(x)=ax³+bx²+x+4.

Nu de andere raaklijn: y=x-4
Deze snijdt de x-as in het punt (4,0).
Dus we weten f(4)=0 en f'(4)=1.
f(4)=64a+16b+4+4=64a+16b+8=0
f'(4)=48a+8b+1=1

Je kunt nu het stelsel
64a+16b+8=0
48a+8b=0
oplossen.
Je kent dan a en b, en dan is het functievoorschrift bekend.
Bovendien ken je al een oplossing van f(x)=0 dus dan kun je daarna de twee andere nulpunten en de raaklijnen vinden.

hk
5-11-2007