Hoe kan ik bewijzen met behulp van volgende wet: [(p(exclusieve disjunctie)q)(exclusieve disjunctie)q]$\Leftrightarrow$p en met behulp van commutativiteit en associativiteit van exclusieve disjunctie dat de Vernam-codering werkt?
Alvast bedankt!Koen Verbeke
4-11-2007
Hallo, Koen.
De originele boodschap P is (volgens een publiek coderingssysteem dat in principe door iedereen kan worden ontcijferd) gecodeerd als een rij van nullen en enen. Voorbeeld P=1001101001.
De sleutel Q, in het bezit van verzender en ontvanger, is een even lange rij van nullen en enen. Voorbeeld Q=1010000111.
De verzender bepaalt nu met boodschap P en sleutel Q geheimschrift (P eof Q), dat is dus een weer even lange rij van nullen en enen, en zendt dat naar de ontvanger. In ons voorbeeld (P eof Q)=0011101110.
De ontvanger bepaalt met geheimschrift (P eof Q) en sleutel Q zijn oplossing ((P eof Q) eof Q). Bij ons wordt dat (0011101110 eof 1010000111) = 1001101001.
Maar deze oplossing is gelijk aan de originele boodschap P.
Is dit nu toeval? Nee, het werkt altijd. Waarom?
Welnu, ga alle mogelijkheden maar na met een waarheidstabel (per bit p van P en bit q van Q met hetzelfde volgnummer):
p ................. 1 1 0 0
q ................. 1 0 1 0
p eof q ......... 0 1 1 0
(p eof q) eof q 1 1 0 0
Jouw vraag betreft voorts een bewijs met wetten ipv waarheidstabel. Dat kan ook, namelijk als volgt:
((p eof q) eof q) is vanwege de associativiteit gelijk aan (p eof (q eof q)).
Echter, of q nu 0 is of 1, in beide gevallen geldt: q eof q = 0 (namelijk 0eof0=0, 1eof1=0).
Dus, of p nu 0 is of 1, in beide gevallen geldt: (p eof (q eof q)) = p (namelijk 0eof0=0, 1eof0=1).
Die wetten bewijs je weer met waarheidstabellen, dus dit is eigenlijk een omweg.
hr
8-11-2007
#52868 - Cryptografie - 3de graad ASO