WisFaq!

De fundamentele oplossing van een PDE

Hallo wisfaq,

Stel n=1 en u(x,t)=v(y) met y=(x^2)/t.

Ik weet dat het volgende geldt:

a. (Notatie: u_t de part. afgeleide naar t, u_xx twee maal de part. afg. naar x)

u_t=u_xx d.e.s.d.a. 4z*v''(z)+(2+z)*v'(z)=0 (1)
met z=x^2/t

b. De algemene oplossing van (1) is
v(z)=c*int[e^(-s/4)*s^(-1/2) ds]+d, de integraal van 0 tot z.

Ik wil v(x^2/t) differentieren naar x, en de constante c zo kiezen dat ik de fundamentele oplossing F krijg voor n=1.

Ik denk dat ik de volgende stappen moet doen:
1.Ik weet dat de part.afg. van v(x^2/t) naar x gelijk is aan: (2x/t)*v_x(x^2/t)
2.Ik moet v(z) berekenen en dan de verkregen uitdrukking differentieren naar x.
3.Nu kan ik c bepalen door de uitdrukking in 1 gelijk te stellen aan de uitdrukking verkregen in 2.
4.v(z) is F.

Maar ik loop vast bij stap 2.Want als ik probeer de intgraal uit te rekenen m.b.v. integration by parts dan kom ik altijd op 0 uit.

Groeten,

Viky

viky
25-10-2007

Antwoord

Hey Viky, long time no see

De in b. gegeven v(z) voldoet inderdaad aan zowel de warmtevergelijking u_t=u_xx als aan de ODE in (1).

Je wil nu de constanten c en d bepalen zodat je uitkomt op 'de fundamentele oplossing F voor n=1'. Welke F bedoel je daarmee, en waarin vul je die n=1 in?

Nu, misschien kan ik je zo ook wel helpen, aangezien het blijkbaar misloopt bij de afleiding van v(z). Ik denk dat je niet moet proberen de integraal uit b. expliciet te integreren. Vermits je toch enkel de afgeleide van die functie v(z) nodig hebt (die gegeven is als een integraal) kan je de hoofdstelling van de integraalrekening gebruiken:

Als g(x)=ò_a^f(x)h(x)dx
dan dg(x)/dx = h(f(x)) * df(x)/dx

Dus bijvoorbeeld, vertrekkend van u(x,t)=v(x²/t) en de integraaluitdrukking voor v(z) gegeven in b. krijg je:
u_x = c * e^(-x²/(4t)) * (x²/t)^(-1/2) * 2x/t.

Als dit je vraag niet beantwoordt, dan reageer je maar en zeg even welke F je bedoelt en waar die n tevoorschijn komt he.

Groeten,
Christophe.

Christophe
25-10-2007