WisFaq!

Kwadriek

hoi, heb een kwadriek gegeven :

x₁x₂ -5.x₁ + 15.x₂ -7.x₃ - 26 = 0

maar ik kan hem niet tot een normaalvergelijking krijgen, iemand kan me wat helpen?
dank u

joris
27-7-2007

Antwoord

Beste Joris,
Het algemene algoritme hiervoor is: Bepaal A₀, de matrix zonder het lineaire deel:
In dit geval: A₀=
Vervolgens bepaal je de eigenwaarden (1,-1 en 0) en eigenvectoren, die je in matrix S zet. Ik neem aan dat je weet hoe dat gaat.
S=
Deze matrix voert een rotatie uit over 45 graden, zodat de term xy verdwijnt.
Je moet dan de x₁,x₂ en x₃ (ik noem ze x,y en z)in je kwadriek vervangen door de nieuw berekende waarden met
s·=
Dit levert een vergelijking op van de geroteerde kegelsnede:
x²-y²+30.x/√2-30.y/√2-14z-52=0
Nu hoef je hem alleen nog maar te verschuiven (translatie) zodat de lineaire termen wegvallen.
Dit kan door x te vervangen door x-15/√2 ,y door y-15/√2 en z door z-26/7.(Kan je bepalen door x te vervangen door x-a, y door y-b en z door z-c. Uitwerken en a, b en c vaststellen zodanig dat alle lineaire termen vervallen.)
Je krijgt dan: x²-y²=14z, een hyperbolische paraboloïde.
In het vlak y=0 of x=0 is het een parabool en in het vlak evenwijdig aan het x-y vlak, dus z= constant, is het een hyperbool.

Zelf vind ik het handiger om, als dat kan, met een translatie te beginnen.
In dit geval krijg je dan direct x·y=7z. De rotatie matrix blijft hetzelfde.

Ik heb een site toegevoegd over oude examens waar de normaalvergelijkig van een dergelijke kwadriek wordt gevraagd, met een uitwerking. Zie daarvoor blz. 16 en 17.

ALs er iets niet duidelijk is, vraag dat gerust!
Succes.

Zie http://www2.winak.be/tuyaux/Tuyeaux_1e_Bach_Wis_sem2.pdf [http://www2.winak.be/tuyaux/Tuyeaux_1e_Bach_Wis_sem2.pdf]

ldr
28-7-2007