WisFaq!

Euler afleiden met taylorreeks

ik moet de formule van euler afleiden met behulp van taylorreeksen. Ik kom er echter niet uit. hoe moet ik de taylorreeks maal i doen? ik bedoel wat komt er dan uit? en hoe tel ik die op? het klinkt heel makkelijk maar als ik het probeer kom ik niet goed uit

remy
18-6-2007

Antwoord

Je begint met exp(x)=som(xⁿ/n!, n=0..oneindig). Nu vul je i*x in voor x; als je gebruikt dat i²=-1, i³=-i en i⁴=1 zul je zien dat de even termen reëel zijn en alternerend: som((-1)ⁿx²ⁿ/(2n)!,n=0..oneindig); de oneven termen zijn imaginair en ook alternerend, haal i buiten de haakjes en je krijgt: i*som((-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!,n=0..oneindig). De eerste reeks heeft cos(x) als som en de tweede levert i*sin(x).

kphart
18-6-2007