WisFaq!

Lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten

Beste,

Ik heb hier enkele opgaven in verband met lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten. Bij deze oefeningen is echter geen oplossing gegeven.

Nu vroeg ik mij af of iemand van jullie mij misschien wil helpen door eventueel de uitkomst van deze oefeningen te formuleren.

Ik weet niet of ik hiervoor op de juiste plaats ben aangezien de meeste vragen hier gaan over een bepaald probleem.

Een eerste opgave gaat als volgt:

Ga na of de matrix

( 1 1 0 )
( 0 2 0 )
( 1 1 2 )

diagonaliseerbaar is en bepaal desgevallend de bijhorende diagonaalmatrix.

Indien er wordt verwacht dat ik eerst zelf mijn oplossing formuleer gelieve mij dit dan mee te delen. Het spreekt natuurlijk voor zich dat dit voor mij iets meer tijd en werk kost.

Alvast dank,

Pieter
1-5-2007

Antwoord

Beste Pieter,

Een nxn-matrix is diagonaliseerbaar als je n lineair onafhankelijke eigenvectoren kan vinden. Dit is gegarandeerd als je n verschillende eigenwaarden vindt, maar dat is geen nodige voorwaarde. Indien een zekere eigenwaarde meermaals voorkomt, bijvoorbeeld k keer, dan moet je bij die eigenwaarde ook k lineair onafhankelijke eigenvectoren vinden.

In jouw geval heb je een 3x3-matrix, je wilt dus drie lineair onafhankelijke eigenvectoren. De eigenwaarden zijn 1 en 2, deze laatste is een dubbele eigenwaarde. Je matrix is nu diagonaliseerbaar als bij de eigenwaarde 2, ook twee lineair onafhankelijke eigenvectoren horen. Kan je dat zelf nagaan? Het zal hier niet het geval zijn.

mvg,
Tom

td
1-5-2007