Ln helemaal niet zo natuurlijk?? Toch wél!!
Ongeveer zoals de functies sin en cos wel cirkelfuncties genoemd worden (het zijn projecties op y-as en x-as van een punt op de eenheidscirkel), zo kun je de functies ln en exp groeifuncties noemen. Dat zit zo:Waar de cirkelfuncties sin en cos te definiëren zijn zónder het cirkelgetal $\pi$, zo blijken de 'natuurlijke' functies exp en ln te introduceren zónder het groeigetal e.
- Denk je een volstrekt willekeurige groeikromme. Zo'n kromme heeft een asymptoot (de meestal horizontaal getekende grondlijn/tijd-as): z'n as. De hoofdeigenschap ervan is, dat bij equidistante puntenparen op de as steeds evenredige afstanden-paren tot de kromme (loodrecht op de as) horen.
- De raaklijn in een willekeurig punt P van die kromme snijdt de as in O.
- Beschouw O als nulpunt van een assenstelsel, met de 'as' als X-as, het voetpunt (E) van de loodlijn uit P als eerste eenheidpunt, de loodlijn in O als Y-as en z'n snijpunt (F) met de groeikromme als tweede eenheidspunt.
- Klaar! Want de groeikromme-plus-assenstelsel vormt de grafiek van de e-macht-functie(exp), en (na verwisseling van X en Y) van de natuurlijke-logaritme-funtie(ln).
Waarom schoolboeken, en dus ook de meeste leraren, het altijd met een ingewikkelde omweg via e en differentiëren willen doen, mag joost weten.
O ja, net zoals het cirkelgetal vastzit aan iedere draaikromme ($\pi$ = het quotiënt van omtrek en diameter), zo zit het groeigetal vast aan iedere groeikromme (e = het quotiënt van raakpunt-hoogte PE en assnijpunt-hoogte FO).Hessel Pot
11-4-2007
Wiskundig is het allemaal juist, maar of de gemiddelde leerling dit allemaal ook 'natuurlijk' vindt, waag ik te betwijfelen. Hij/zij heeft nou eenmaal meer affiniteit met de 10 vingers en daarom gaat het logaritmewerk met grondtal 10 er meestal als pap in.
De overstap naar e is vrijwel altijd even wennen en het duurt meestal wat langer voordat er complete vertrouwdheid mee ontstaat.
MBL
MBL
16-4-2007
#50129 - Logaritmen - Iets anders