WisFaq!

Derde en vierdegraads vergelijkingen ontbinden in factoren

Hoe kun je de volgende polynomen ontbinden in factoren van zo laag mogelijke graad:

x⁴+4x³+7x²+6x+2
x³-2x²-7x-4

Is er misschien een andere manier waarop je derdegraads (en vierde graads) polynomen kunt ontbinden, behalve de Cardano.

Ali Ehsary
28-10-2002

Antwoord

Hoi,

Je hebt een factor x-a in de ontbinding van een veelterm f(x) als en slechts als f(a)=0.
Bovendien kan je makkelijk bewijzen dat als f(x) een veelterm is met gehele coeëfficiënten en als x-a met a geheel een deler is van f(x) dat dan a een deler moet zijn van a₀ (coëfficiënt van x⁰).
Het is dus altijd handig bij dit soort 'academische' oefeningen om f(x) te evalueren voor de delers van a₀.
Als alle coëfficiënten positief zijn, dan zal je geen positieve reële wortels vinden.
Nog zo'n leukerd is om de opeenvolgende afgeleiden van f(x) te bekijken. Als (x-a)^k een deler is van f(x), of nog: a is een wortel met multipliciteit k, dan is f^(k-1)(a)=0 (k-de afgeleide van f(x)).

Bij de eerste vind je dat f(-1)=f'(-1)=0. Dus f(x)=(x+1)².(x²+2x+2) (delen van veeltermen met gehele coëfficiënten). De factor in x² kan je niet verder ontbinden in (negatieve discriminant).

Bij de tweede: f(4)=f(-1)=0 en f'(-1)=0 dus: f(x)=(x+1)²(x-4).

Meestal heb je dus Cardano helemaal niet nodig voor dit soort oefeningetjes... Wanneer het serieus wordt, dan gebruik je best een numerische methode om nulpunten te zoeken.

Groetjes,
Johan

andros
28-10-2002