WisFaq!

Stelsels vergelijkingen met matrices oplossen

hello

ik ben momenteel bezig met een oefening op te lossen, maar op één of andere manier (denk ik) dat ik het tegenovergestelde van mijn cursus uitkom...

Een singuliere matrix heb je toch als je determinant nul is he?
in mijn cursus staat dat als je een 3x3 stelsel oplost, je bij D¹0 één oplossing krijgt, en bij D=0 dat je dan met minoren moet werken.

Bij deze oefening:
x + y + kz = 2
3x + 4y + 2z = k
2x + 3y - z = 1

heb ik de coefficienten in een matrix gestoken en zo D berekend, ik bekom dan, D=0 en dus singulier als k=3
en D¹0 en dus regulier als k¹3
Ja?

Bij de reguliere matrix, D¹0, krijg je dan een stelsel van Cramer; X^...t=A^...-1 . B
Wanneer ik dit dan oplos:
[x ; y ; z]^...t = [(1,1,k) : (3,4,2) ; (2,3,-1)]^...-1 * [2 ; k ; 1]

Als ik dan de inverse ga berekenen van A krijg ik:
[(-10, -5+3k, -4k+2) ; (7, 1-2k, -2 + 3k) ; (1/(-3+k), -1/(-3+k), 1/(-3+k)]

Wanneer ik dit dan verder uitreken krijg ik als oplossingsverzameling:
x= -18 - 9k + 3k²
y= 12 + 4k - 2k²
z= (3-k)/(-3+k)
met k€

Deze oplossing is dus niet enig,

Wanneer ik dit dan ga berekenen voor D=0, dus voor de singuliere en dus voor k=3 krijg ik maar 1 oplossingen namelijk:
x=5
y=-3
z=0
Dit heb ik ook helemaal niet opgelost met minoren ofzo...

Pfff, ik weet het ellenlange uitleg, sorry als hij onduidelijk is, maar nu twijfel ik eraan of ik mijn oefening juist heb opgelost....
Kunnen jullie mij helpen?
al heeeel super merci!

Lynn
4-1-2007

Antwoord

Beste Lynn,

Je determinanten en bijbehorende k-waarden kloppen. Let wel, voor k verschillend van 3 is de determinant niet 0 en is er een unieke oplossing voor {x,y,z}. Dat is hier ook het geval (geen van de onbekenden is vrij te kiezen!), alleen hangen ze af van de parameter k. Er zijn dus inderdaad oneindig veel oplossingen, omdat je k mag variëren, maar voor een zekere k, is de oplossing uniek.

Indien k wel gelijk is aan 3, is de determinant 0 en de (coëfficiënten)matrix dus singulier. Er zijn dan twee mogelijkheden: de rang van de uitgebreide matrix is gelijk aan die van de coëfficiëntenmatrix (oneindig veel oplossingen) of is er niet aan gelijk (strijdig stelsel, geen oplossingen).

Jij zit in het eerste geval, er zijn oneindig veel oplossingen. Wat je oplossing betreft: hoe kom je aan z = 0? Volgens mij mag z eender wat zijn, dus een parameter t - vandaar het oneindig aantal oplossingen. De oplossingen voor x en y zullen dan nog in functie van t zijn.

mvg,
Tom

td
4-1-2007