WisFaq!

Identieke functie

f is een functie in , waarvoor geldt:
a) f(2) = 2
b) "m,n:f(m*n)=f(m)*f(n)
c) f is strikt stijgend
Bewijs dat f de identieke functie is op .

Je kan direct zien dat f de identieke functie is op , maar hoe moet je de bovenstaande gegevens in en bewijs gieten?

Alvast bedankt,

Jeroen
25-10-2006

Antwoord

Dag Jeroen,

Ik denk dat je best de volgende stappen neemt:
- Vul eens m=1 in (n willekeurig), dan zie je wat f(1) moet zijn.
- f(4)=f(2)*f(2)=4; f(8)=f(4)*f(2)=4*2=8 enzovoort, probeer dit eens op te schrijven als bewijsje met inductie. Zo heb je dus al f(n)=n voor n een macht van 2.
- De andere getallen: is er gegeven dat f een functie is van naar ? Met andere woorden, is gegeven dat de functiewaarden ook natuurlijke getallen zijn? Zoja dan is het niet meer zo moeilijk: f(4)=4 en f(8)=8, dan is de enige strikt stijgende rij hiertussen 5,6,7 dus f(5)=5 enzovoort, dit kan je doen tussen elke twee machten van 2.

Zoniet dan reageer je maar, maar ik denk niet dat dat zo eenvoudig aan te tonen zal zijn...

Groeten,
Christophe.

Christophe
25-10-2006