WisFaq!

Rekenen met complexe getallen

schrijf als a+bi

³Ö(-4-4Ö(3))

manorma
25-9-2006

Antwoord

stel eens dat z=³Ö(-4-4Ö(3))

We zijn dus in feite op zoek naar complexe getallen waarvoor geldt dat
z³=-4-4Ö(3)
Schrijven we z eerst in de poolcoördinaten-notatie r.e^if
Dan geldt dus dat r³.e^3if=-4-4Ö(3)

Nou is |-4-4Ö(3)|=4+4Ö(3) dus r=³Ö(4+4Ö(3))
En arg(-4-4Ö(3))=p+2kp
(immers -4-4Ö(3) is een negatief reëel getal)
ofwel 3f=p+2kp

hieruit volgt dat:
z=³Ö(4+4Ö(3)).e^{(1/₃p+2/3kp)i}
Dus er zijn 3 afzonderlijke oplossingen:
z₁=³Ö(4+4Ö(3)).e^1/₃pi= ...
z₂=³Ö(4+4Ö(3)).e^pi=...
z₃=³Ö(4+4Ö(3)).e^5/3pi=...

Maar wellicht dat jouw opgave had kunnen/moeten luiden:
³Ö(-4-4iÖ(3))
In dat geval had de oplossing er wat anders uitgezien:

³Ö(-4-4iÖ(3))
=³Ö8(-¹/₂-¹/₂iÖ(3))
= ³Ö8.³Ö(-¹/₂-¹/₂iÖ(3))
=2.³Ö(-¹/₂-¹/₂iÖ(3))

Wat het ³Ö(-¹/₂-¹/₂iÖ(3))-gedeelte betreft zijn we dus op zoek naar die getallen z waarvoor geldt dat z³=-¹/₂-¹/₂iÖ(3)
ofwel r³.e^3if=-¹/₂-¹/₂iÖ(3)

er geldt dat |-¹/₂-¹/₂iÖ(3)|=1 dus r³=1 -- r=1

en arg(-¹/₂-¹/₂iÖ(3))= 4/3p+2kp
dus f=4/9p+2/3kp

Dit levert:
z₁=2e^4/9pi=2cos(4/9p)+i.2sin(4/9p)
z₂=2e^10/9pi=2cos(10/9p)+i.2sin(10/9p)
z₃=2e^16/9pi=2cos(16/9p)+i.2sin(16/9p)

groeten,
martijn

mg
26-9-2006