WisFaq!

Convergentie van reeksen

Ik had graag wat hulp bij het bepalen van het convergentiegedrag van een reeks. Bij de verschillende convergentieregels moet er altijd een limiet(of bij integraaltest een integraal) berekend worden voor n gaande naar oneindig. heeft die limiet naar oneindig gewoon een betekenis als notatie om te zeggen dat de n groot genoeg moet zijn, en mag je dan zelf een getal kiezen en invullen en zo de waarde uitrekenen? Op deze manier lukt het me soms maar bv bij het volgende voorbeeld heb ik mijn rekenmachine nodig om de waarde te berekenen (aan de hand van de regel van d'Alembert) en dat kan niet de bedoeling zijn denk ik. De opgave is als volgt:

reeks met algemene term: n·tan[$\frac{\pi}{2}$ⁿ⁺¹]

alvast bedankt

Dieter Van Hauwermeiren
14-8-2006

Antwoord

De bedoeling was ongetwijfeld dat je gebruik zou maken van de standaard limiet lim_x$\to$0tan(x)/x=1.
Bij het criterium van d'Alembert betekent dit dat je het volgende krijgt: (n+1)/n·tan($\frac{\pi}{2}$ⁿ⁺²)/tan($\frac{\pi}{2}$ⁿ⁺¹) = (n+1)/n·tan($\frac{\pi}{2}$ⁿ⁺²)/($\frac{\pi}{2}$ⁿ⁺²)·($\frac{\pi}{2}$ⁿ⁺¹)/tan($\frac{\pi}{2}$ⁿ⁺¹)·($\frac{\pi}{2}$ⁿ⁺²)/($\frac{\pi}{2}$ⁿ⁺¹) als je hier de limiet van neemt krijg je 1·1·1·¹/₂=1/2.

kphart
16-8-2006