WisFaq!

Rode en zwarte knikkers

Twee dozen met knikkers, doos A 20 rode en 10 zwarte, in doos B 2 rode en 5 zwarte....

Uit doos A worden 2 knikkers gepakt, zonder dat deze bekeken worden worden ze teruggelegd in doos B...

Vervolgens worden er uit doos B twee knikkers gepakt, deze blijken allebei rood te zijn....

Hoe groot is de kans, gegeven deze informatie, dat de 2 knikkers die verplaatst zijn uit A naar B allebei rood waren?

Het antwoord moet zijn: 0.6387 en ik kom niet verder als de kans dat je uit doos A twee rode pakt, die is (20/30)*(19/29)

C. Burg
2-10-2002

Antwoord

Hoi,

Dit is minder evident...

We definiëren volgende 6 gebeurtenissen:
SA_i: i rode knikkers uit A
SB_i: i rode knikkers uit B

De SB en SA gebeurtenissen zijn afhankelijk, de SA en SB gebeurtenissen onderling zijn onafhankelijk.

We definiëren ook de gebeurtenissen:
SB_i|SA_j: j uit A en dan i uit B
SA_i|SB_j: i uit A wanneer er j uit B komen

De vraag is dan: wat is p(SA₂|SB₂)?

Welnu:
p(SA₂|SB₂)=
p(SA₂ÇSB₂)/p(SB₂)=
p(SA₂ÇSB₂)/p(SA₂).p(SA₂)/p(SB₂)=
p(SB₂|SA₂).p(SA₂)/p(SB₂)

We hebben ook:
p(SB₂)=$\sum$[i=0..2:p(SB₂|SA_i).p(SA_i)]

We moeten dus nog berekenen:
p(SA_i) voor i=0..2
p(SB₂|SA_i) voor i=0..2

Met de notatie C(n,k) = n!/[k!.(n-k!)]:
p(SA_i)=C(20,i).C(10,2-i)/C(30,2)
En dus:
p(SA₀)=45/435
p(SA₁)=200/435
p(SA₂)=190/435
(ter controle: som=1)

p(SB₂|SA_i)=C(2+i,2).C(7+2-i,0)/C(9,2)=(i+1)(i+2)/72
En dus:
p(SB₂|SA₀)=2/72
p(SB₂|SA₁)=6/72
p(SB₂|SA₂)=12/72

Zodat:
p(SB₂)=$\sum$[i=0..2:p(SB₂|SA_i).p(SA_i)]=
2/72.45/435+6/72.200/435+12/72.190/435=0.11398

En:
p(SA₂|SB₂)=12/72.190/435/0.11398=0.63866...

Oef, dat was een hele boterham...

Groetjes,
Johan

andros
2-10-2002