WisFaq!

Wortel i

De opgave van mijn oefening is:

z⁴+81=0


dus:

z⁴=-81
neem: t=z²
dan: t²=-81
t²=81i²
t=9i of t=-9i

z²=9i of z²=-9i

Mijn vraag is nu hoe ik verder moet als ik z wil berekenen..?

Philippe Bouwen
21-5-2006

Antwoord

Hallo

Om vierkantswortels te trekken uit complexe getallen bestaat een nogal ingewikkelde formule. Gemakkelijker is het om het complexe getal om te zetten in zijn goniometrische vorm. Voor hogere machtswortels is dit uiteraard de aangewezen manier.

Zo is -81 = 81.(cos p + i.sin p)

De vier vierdemachtswortels zijn dan
3.[cos (^p/₄+k.^p/₂) + i.sin(^p/₄+k.^p/₂)], dus

3.(cos (^p/₄) + i.sin(^p/₄)) = 3.(^Ö2/₂ + ^Ö2/₂.i)

3.(cos (^3p/₄) + i.sin(^3p/₄)) = 3.(-^Ö2/₂ + ^Ö2/₂.i)

3.(cos (^5p/₄) + i.sin(^5p/₄)) = 3.(-^Ö2/₂ - ^Ö2/₂.i)

3.(cos (^7p/₄) + i.sin(^7p/₄)) = 3.(^Ö2/₂ - ^Ö2/₂.i)

LL
21-5-2006