WisFaq!

Ringen en lichamen

Ik ben me volledig stuk aan het bijten op de lichaamsuitbreidingen. Ik moet een bewijs leveren voor:
Q(Ö2/Ö11)=Q(Ö2,Ö11).

Mag ik bijvoorbeeld gewoon aannemen dat Q(Ö2,Ö11)=Q(Ö2+Ö11)?

Ik gebruik het boekje van Riemersma: Algebra, de brug tussen getallen en meetkundige constructies.

Kan iemand voorkomen dat ik mijn tanden stuk bijt?

Bij voorbaat dank,
Kees

Kees van de Wege
4-5-2006

Antwoord

Je mag niet zomaar extra aannamen doen. Je kunt gewoon aantonen dat L₁=Q(wortel(2),wortel(11)) en L₂=Q(wortel(2)+wortel(11)) aan elkaar gelijk zijn: omdat wortel(2)+wortel(11) in L₁ zit volgt meteen dat L₂ een deel van L₁ is; omgekeerd moet je laten zien dat wortel(2) en wortel(11) in L₂ zitten: het kwadraat van wortel(2)+wortel(11) zit in L₂, en dus ook wortel(22). Maak nu het kwadraat van wortel(11)+wortel(22), dat is 11(3+2*wortel(2)) en dat zit in L₂ maar dan zit wortel(2) in L₂, en daarmee ook wortel(11).
Voor je oorspronkelijke probleem kun je iets dergelijks doen: wortel(2)/wortel(11)+wortel(11)/wortel(2) zit in het linker lichaam; de som is 13/(wortel(2)*wortel(11)), dus wortel(2)*wortel(11) zit in het linker lichaam, maar dan wortel(2) en wortel(11) zelf ook.

kphart
8-5-2006