WisFaq!

Vierhoek

Zij ABCD een trapezium waarbij AB en DC evenwijdig zijn. Kies willekeurig een punt E op de zijde BC. Bewijs dat de rechte uit B evenwijdig aan DE en de rechte uit C evenwijdig aan AE elkaar snijden op de zijde AD.
Ik weet echt niet hoe te beginnen.

johan
29-3-2006

Antwoord

Beste Johan,

Bekijk de volgende figuur

De rode lijnen zijn de evenwijdige rechten uit de opgave. Zij snijden elkaar in I, maar of I op AD ligt weten we (nog) niet. De verder toegevoegde punten spreken voor zich.

Uit gelijkvormigheid van driehoeken kunnen we afleiden dat

AK/KE = HI/IC = BI/IG = EJ/JD.

In driehoek AED is nu te zien dat CH de lijn AD verdeelt in de verhoudig EJ:JD, en dat BG de lijn AD verdeelt in de verhouding AK:KE
Omdat deze twee verhoudingen hetzelfde zijn, zijn de snijpunten van CH en BG met AD een en hetzelfde punt. En dus ligt I op AD.

FvL
30-3-2006