WisFaq!

Sommatie Fibonacci-reeks

Beste mede-beantwoorders,

Ik zou moeten bewijzen dat

Ik heb al geprobeerd om de expliciete Fibonacci-formule te gebruiken (van Binet) dat hielp niet, en de termen herschrijven zodat sommige termen elkaar opheffen helpt ook niet.... hebben jullie misschien een idee?

Groetjes,

Davy.

Davy Quadackers
26-3-2006

Antwoord

Beste Davy,

We beginnen met op te merken dat:
¹/_F(n)F(n+1) - ¹/_F(n+1)F(n+2)

= ^F(n+2)-F(n)/_{F(n)F(n+1)F(n+2)}

= ^F(n+1)/_{F(n)F(n+1)F(n+2)}

= ¹/_F(n)F(n+2)

Zodat jouw som zich laat herschrijven als:
å¹/_{F(2n-1)F(2n+1)}...........(1)

Nu kunnen we gebruik maken van een identiteit:

F(n+2^m)+F(n)=L(2^m-1)F(n+2^m-1).....(2)

waar L natuurlijk de Lucas-getallen geeft (1,3,4,7,...).

Deze identiteit is een uischrijfoefening als we weten dat

• F(n)=^{F^n - F^(-n)}/_Ö5
  
• L(n)=F^n + F^(-n).

De eerste twee termen van (1) laten zich dus optellen tot:

¹/_F(1)F(3)+¹/_F(3)F(5)

= ^F(1)+F(5)/_F(1)F(3)F(5)

= (met (2)) ^L(2)F(3)/_F(1)F(3)F(5)

= ^L(2)/_F(1)F(5)

= ^F(4)/_F(1)F(5) .....................(3)

Evenzo vinden we voor de derde en vierde term van (1) samen:

^F(4)/_F(5)F(9)........................(4)

Gebruikmakend van een andere beroemde identiteit, L(n)F(n)= F(2n) (ook een simpele uitschrijfoefening) zijn de eerste vier termen van (1) (de eerste 8 van jouw som) via (3) en (4) weer samen te nemen tot

^F(4)/_F(1)F(5) + ^F(4)/_F(5)F(9)

= ^{F(4)(F(1)+F(9))}/_F(1)F(5)F(9)

= ^F(4)L(4)/_F(1)F(9)

= ^F(8)/_F(1)F(9) .....................(5)

Natuurlijk is dit allemaal goed te vertalen in een algemeen geldige inductiestap.

Je concludeert dan met volledige inductie dat de eerste 2^m termen uit jouw som, analoog aan (5), samen worden tot:

^{F(2^m)}/_F(1+2^m)

dus de som convergeert naar 1/F ((1) is immers monotoon), zoals de bedoeling was.

FvL
29-3-2006