Hoeveel stompe hoeken heeft een convexe tweeduizendenzes-hoek minimaal?Jeroen
21-1-2006
Er zijn maximaal drie scherpe (of rechte) hoeken.
Stel immers dat er vier scherpe of rechte hoeken zijn. De diagonalen/zijden tussen de bijbehorende hoekpunten vormen dan een convexe vierhoek met twee diagonalen. De hoeken van deze vierhoek zijn kleiner of gelijk aan de overeenkomende scherp/rechte hoeken uit de oorspronkelijke tweeduizendzeshoek, dit volgt uit de convexheid van de oorspronkelijke veelhoek. Maar in elk geval zijn er twee strikt kleiner - want niet alle vier zijden van de vierhoek kunnen zijden van de tweeduizendzeshoek zijn geweest. Dus we hebben vier hoeken van maximaal 90°, en bovendien twee die zeker kleiner zijn dan 90°. Dit is in tegenspraak met dat de hoekensom van een vierhoek 360° is.
Drie scherpe hoeken kan: begin met een scherphoekige driehoek, vervang één zijde door een heel flauw buigend boogje (dat nog steeds scherpe hoeken maakt met de rechte zijden - dus neem het middelpunt van de bijbehorende cirkel gewoon heel ver weg). Plak de overige hoekpunten allemaal op het boogje, en het is gelukt.
FvL
22-1-2006
#43151 - Bewijzen - Student universiteit België