WisFaq!

Integraal berekenen

ò₀³ò_]-Ö(9-x²)^{Ö(9-x2) 1}/_Ö(x²+y²) dydx

Ik kon het niet anders "opschrijven".

Ik wil deze integraal berekenen mbv poolcoordinaten.

1)Schets het integratiegebied en geef de grenzen in poolcoordinaten.

(2) Bereken de integraal.)

Vraag 2
1/Ö(x²+y²). Dit komt me erg bekend voor. Heeft het iets te maken met de arc sin of arc tan ?

mvg Maarten

Maarten
22-10-2005

Antwoord

Beste Maarten,

Laten we eerst het integratiegebied bekijken. Voor y zien we dat we van de negatieve wortel tot de positieve lopen en y² = 9 - x² Û x² + y² = 3². We hebben dus te maken met een cirkel, oorsprong in (0,0) en straal 3. Bovendien loopt x van 0 (het middelpunt) tot 3 (de rand). Voor elke x laat je y van de benedenkant van de cirkel tot de bovenkant lopen. In z'n geheel integreren we dus over een halve cirkel.

Overgaan op poolcoördinaten is in dit geval dan een goed idee, de transformatieformules zijn:
x = r.cos(t)
y = r.sin(t)

Je kan het narekenen, maar dydx gaat over in rdrdt. Bovendien zal de integrand ook zeer eenvoudig worden, substitueer x en y maar en reken na. Tenslotte moet je de grenzen bepalen in de nieuwe veranderlijken, maar dat mag geen probleem meer zijn nu je weet hoe het integratiegebied eruit ziet.

mvg,
Tom

td
22-10-2005