WisFaq!

Priemgetallen

Hallo

Er zijn 3 vragen in mijn opdrachtenreeks, waar ik niet aan kan beginnen, kunnen jullie mij op weg helpen?

1) Toon aan: als (2ⁿ)-1 priem is, is n priem. (met n een natuurlijk getal)

2) Toon aan dat (4²ⁿ)-1 deelbaar is door 15, voor elk niet-nul natuurlijk getal.

3) Zoek het getal n met de volgende eigenschappen:

(a) n is een niet-nul natuurlijk getal
(b) elke priemfactor van n komt maar 1 keer voor in de ontbinding.
(c) als p priem is, geldt: p deelt n als en slechts als (p-1) deelt n

Alvast heel erg bedankt!

Joke

Joke
20-10-2005

Antwoord

Dag Joke,

(1) gaat het makkelijkst als je de omgekeerde weg bewijst: als n niet priem is (dus n=km met k,m$>$1) dan is 2ⁿ-1 ook nietpriem.

De truc die je dan kan gebruiken is:
2^km-1 = (2^k)^m-1
en gebruik dan dat (a-1) | (a^m-1)met a=2^k

(2) Je hebt de keuze: ofwel bewijs je dat het getal zowel deelbaar is door 3 als door 5, door modulo-argumenten. Ofwel doe je het met inductie: de basisstap is nogal duidelijk, de inductiestap gaat als volgt:
15 | (4²ⁿ - 1)
Dus 4²ⁿ = 15k + 1
Kijk dan naar n+1, dus naar 4²⁽ⁿ⁺¹⁾ = 16·4²ⁿ = 16·(15k+1) = ...

(3) is heel simpel, probeer maar eens de eerste paar natuurlijke getallen uit, je zal vrij snel een oplossing vinden. Bewijzen dat die oplossing uniek is, lijkt me veel minder evident...

Groetjes,
Christophe.

Christophe
20-10-2005