WisFaq!

Re: Eigenwaarden

Hoi Christophe,

Daar ben ik weer ;)!(en ik blijf nog een tijdje ;)).

1.Er moet staan [y z]'en [y z] , en het zijn inderdaad kolomvectoren.

Ik was vergeten te vermelden dat m=0 en k0 is.
(het is een probleem uit de fysica)

3.Ik heb een vraag over de eerste eigenwaarde:
Waarom is de positieve term in absolute waarde de negatieve?Hoe zie je dat en hoe toon je dat aan?

4.Ik wilde graag nu de oplossing van dit systeem vinden dat aan de volgende beginwaarden voldoet:
y(0)=0 en y'(0)=1.

Ik wil daarvoor de volgende methode (diagonalisatie) gebruiken (ik denk dat ik deze kan gebruiken):

zij (1) x'=Ax een linear systeem (x',x zij nx1 kolomvectoren en A is een nxn matrix)

De oplossing van (1) wordt gegeven door
(2) x(t)=PE(t)(P^-1)x(0), met

P=[v1 v2...vn] (vi's de eigenvectoren die horen bij de eigenwaarden van A)

E(t)=diag[e^(s_1t),...,e^(s_nt)] (si's de eigenwaarden van A)

Ik moet dus eerst de eigenvectoren berekenen.Maar als ik A-s1 en A-s2 bereken kom ik steeds op de nulmatrix uit.Weet jij misschien wat ik fout doe?

Groetjes,
Viky

viky
24-9-2005

Antwoord

Hoi Viky,

3. Vermits m en k positief zijn, geldt dat m=Ö(m²)
en m²-4km²
dus Ö(m²-4k) Ö(m²) = m.
Merk op dat we geëist hebben dat m²-4k positief was, anders kan je er niet de wortel uit trekken.

4. De eigenvectoren heb je inderdaad nodig, en je bepaalt ze door het homogene stelsel op te lossen dat ontstaat uit A-I*s₁ resp. A-I*s₁

Ik noteer even V voor Ö(m²-4k)
Laten we met de eerste eigenwaarde werken:
A-I*s₁ =
/ 0 1 \ - /^-m+V/₂ 0\
\-k -m/ \0 ^-m+V/₂/
Dit geeft je een 2*2 matrix, en je moet dat dan zien als de coefficientenmatrix van een homogeen stelsel. Zo een stelsel heeft altijd (0,0) als oplossing, maar in de context van eigenvectoren zijn er ook altijd nog andere oplossingen, en die zoeken we. Het stelsel wordt hier, met y en z als onbekenden:
[(m-V)/2] y + z = 0
-ky -[(m+V)/2]z = 0

Met als oplossing:
y=1
z=(-2k)/(m+Ö(m²-4k))

Of een veelvoud hiervan (dat is ook typisch voor eigenvectoren). Om je formule te volgen heb je per eigenwaarde echter maar 1 eigenvector nodig, dus deze vector kan je al meteen als eerste kolom nemen van je matrix P.

Groetjes,
Christophe.

Christophe
25-9-2005