WisFaq!

Exacte differentiaal vergelijking

Beste, Ik heb volgende week herexamen wiskunde, maar zit wat in de knoop met differentiaalvergelijkingen. En meerbepaald bij de exacte differentiaalvergelijking.

Vb1: (2xy-¹/_cos²x)dx + (x² + 2y)dy = 0.
Daaruit kan je halen : M(x,y) = 2xy - ¹/_xos²x & N(x,y) = x²+2y

Maar nu bij de volgende stap begrijp ik het niet.
Hier staat:

^d/_dyM(x,y) = 2x = ^d/_dxN(x,y)

Maar hoe komt men aan die 2x ?

Bij een volgend voorbeeld:
(1 + e^xy + xe^xy)dx + (xe^x + 2)dy = 0
®M(x,y) = 1 + e^xy + xe^xy
®N(x,y) = xe^x + 2

^d/_dyM(x,y) = e^x + xe^x = ^d/_dxN(x,y)

Idem vraag: Hoe komt men aan die e^x + xe^x.

Ik geraak er echt niet uit.

Alvast bedankt.

Dimitri Dejonghe
26-8-2005

Antwoord

Dag Dimitri,

Als je wil nagaan of een diffvgl exact is, kan dat vrij eenvoudig: schrijf de vgl in de vorm M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0. Bereken dan de partiele afgeleiden ¶M/¶y en ¶N/¶x. Als deze gelijk zijn aan elkaar, dan is de diffvgl exact.

Partieel afleiden (bv naar x), betekent dat je alle andere variabelen (hier dus enkel y) als constanten beschouwt, en dan het afleiden doet. Bij je eerste voorbeeld:
^¶N/_¶x = ^¶/_¶x (x²+2y) = 2x, want de 'constante' 2y afleiden geeft nul.
En ^¶M/_¶y = ^¶/_¶y (2xy - 1/cos²x) = 2x - 0 = 2x.

Groeten,
Christophe.

Christophe
26-8-2005