WisFaq!

Vectoren

Ik snap het principe van het kruisproduct of uitwendig product van vectoren niet.

Het scalaire product van twee vectoren A.B = !A!.!B! cos B.
Dit product interpreteer ik als het gecombineerde effect van de grootte van de A vector én de grootte van de component van de B vector in de richting van de A vector.
!B! cos B is de grootte van de component van vector B in de richting van de A vector en dit vermenigvuldig je met de grootte van de A vector zelf. (Is dit correct?)

Bij het uitwendig product raak ik de weg kwijt. Ik weet begrijp niet wat de functie van het uitwendig product is.
Het uitwendig product wordt uitgelegd alsof het loodrecht staat op de vectoren A en B. In de driedimensionale ruimte levert i x j = k en j x k = i en k x i = j
Maar ... !A.B! = !A!.!B! sin ø
3 vectoren die loodrecht op elkaar staan hebben toch geen vector die als sinus kan worden geïnterpreteerd?

Verder wordt gesteld:
i x j = k en j x k = i en k x i = j
voor twee vectoren A en B mag dus gelden:
A.B = (Axi + Ayj + Azk) . (Bxi + Byj + bzk)
Waar is de sinus? en wordt verder geconcludeerd dat dit de volgende vergelijking oplevert:

A.B = (AyBz - AzBy)i + AzBx - AxBz)j + (AxBy -AyBx)k

Hoe komen de minnen ( - ) in het spel?

yara
29-7-2005

Antwoord

Goed lezen: AxB staat loodrecht op A en B en zijn [i]lengte[/i] is gelijk aan
|A||B|sin(hoek) daar zit geen tegenspraak in.
Verder moet het stel A, B, AxB positief georienteerd zijn (via de kurketrekkerregel: een kurketrekker die over de kleinste hoek van A naar B draait gaat in de richting van AxB).
Daarom geldt ixj=k (loodrecht, lengte 1 en de juiste richting) en daarom geldt ook jxi=-k (andere richting).
Evenzo: jxk=i en kxj=-i; kxi=j en ixk=-j. Daar komen de minnen dus vandaan.
De sinus staat niet in de formule omdat het een andersoortige formule voor het zelfde ding is.

kphart
29-7-2005