WisFaq!

De formule van Euler

Hey, ik hoop dat iemand mij kan helpen. Ik maak een praktische opdracht over complexe getallen. Nu moeten we de formule van Euler gebruiken. Ik snap wel hoe ik met deze formule moet werken, maar weet iemand misschien het bewijs dat mijn mijn niveau (5vwo) te volgens is. Alvast bedankt.

Roosmarijn
5-5-2005

Antwoord

Hier is een poging: als je de functie exp(ix) differentieert krijg je i*exp(ix) en de tweede afgeleide is dan -exp(ix). De functie is dus een oplossing van de differentiaalvergelijking f''=-f. De oplossingen hiervan zijn te schrijven als A*cos(x)+B*sin(x). Nu moeten we A en B zo vinden dat A*cos(x)+B*sin(x)=exp(ix). Vul x=0 in, dan komt er A=1. Als je de vergelijking differentieert krijg je -A*sin(x)+B*sin(x)=i*exp(ix), als je daar x=0 invult komt er B=i. Conclusie: exp(ix)=cox(x)+i*sin(x).
Hier zit nog een lastig punt in: de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking f''=-f. Het is duidelijk dat elke functie van de vorm A*cos(x)+B*sin(x) een oplossing is (vul maar in); het is wat lastiger te bewijzen dat er niet meer oplossingen zijn.
Dit gaat als volgt: schrijf een willekeurige oplossing h(x) als g(x)*cos(x) en vul deze in in de vergelijking. Als je dat netjes doet krijg je g''(x)*cos(x)-2g'(x)*sin(x)=0; als je dat met cos(x) vermenigvuldigt komt er g''(x)*cos²(x)-2g'(x)*sin(x)*cos(x)=0; dit kun je lezen als (g'(x)*cos²(x))'=0 (productregel). Dus g'(x)*cos²(x)=C (een constante functie), of g'(x)=C/cos²(x). Nu primitiveren: g(x)=C*tan(x)+D, en dus h(x)=C*sin(x)+D*cos(x).

kphart
8-5-2005