WisFaq!

Integreren

Ik heb als huiswerk een paar integraalsommetjes maar ik weet helemaal niet hoe ik ze moet oplossen. Ik hoop op een snel antwoord. De oplossingen van de sommen zijn niet erg belangrijk, maar de uitwerking met tussenstappen wel. Ik zou graag ten minste een uitgewerkte som terug willen krijgen. Dan kan ik de andere sommen misschien zelf oplossen. Bij voorbaat dank,
Arco Wisse

$\int{}$x².e^2x.dx

$\int{}$x².sin(2x).dx

$\int{}$x².e^(x³).dx

$\int{}$sin(2x).e^(cos(2x)).dx

$\int{}$x⁹.e^(x⁵).dx

Arco Wisse
20-4-2005

Antwoord

Beste Arco,

De eerste is duidelijk een geval van partiële integratie.
Door dit twee keer toe te passen kan je de graad van x² steeds verlagen door deze factor af te leiden, terwijl de e-macht constant blijft onder integratie.

Tweede is analoog, ook hier partiële integratie en twee keer de x² afleiden totdat je uiteindelijk met enkel een sinus zit.

Ofwel breng je de x² rechtstreeks binnen de dx, dan krijg je d(x³/3) of als je dat niet ziet voer je een substitutie uit van het type y = x³ $<\Rightarrow$ dy = 3x²dx

Deze is analoog aan de vorige, ofwel breng je sinx binnen de dx ofwel voer je expliciet de substitutie uit y = cos(2x) $<\Rightarrow$ dy = -2sin(2x)dx

Deze laatste is een beetje een combinatie van de methodes uit de voorgaande opgaven, het wordt misschien duidelijker met de substitutie y = x⁵ $<\Rightarrow$ dy = 5x⁴dx
De integraal wordt dan: ¹/₅$\int{}$y·e^y dy
Deze kan je dan weer partieel integreren (leidt x af).

Probeer je even zelf verder? Als het ergens niet lukt horen we het wel!

mvg,
Tom

td
20-4-2005